sábado, 10 de diciembre de 2016

Manual del astrónomo

¿No sabés qué pedirle a Papá Noel? En el Cielo las Estrellas tiene la solución: pedile el flamante Manual del Astrónomo Aficionado.

Tengo en mis manos este hermoso libro de Enzo de Bernardini, y no puedo dejar de recomendarlo. Y ya que estamos recomiendo (¿para Reyes?) el complemento perfecto: la otra obra de Enzo, en colaboración con Rodolfo Ferraiuolo, Exótico Cielo Profundo. Ambos libros han sido publicados por Sur Astronómico, el excelente sitio web de estronomía que siempre está listado en el menú de aquí al lado. Pueden comprarlos allí.

Tuve el agrado de que Enzo me invitara a escribir un prólogo para su obra, y voy a reproducirlo acá. Un poco por pereza findeañera, un poco más porque es lo que realmente pienso del libro. Aquí está.
Prólogo

El universo es generoso con sus fotones. Prácticamente todo lo que sabemos sobre el universo lo sabemos gracias a la luz que nos llega del espacio exterior. Todo mirando de lejos ese abismo invertido, esa profundidad hacia las alturas que todavía podemos contemplar alejándonos de las luces cada vez más extensas de las ciudades. ¿Quién no ha sentido la fascinación del cielo estrellado? Miles de luminarias frías, misteriosas, tan distintas de las otras luces de nuestras vidas.

Hoy en día nos hemos acostumbrado a las extraordinarias imágenes tomadas por los increíbles telescopios con espejos de 10 metros de diámetro, o que están en el espacio por encima del efecto de la atmósfera terrestre. O a las que envían los robots que exploran los mundos del sistema solar. Lo que hemos aprendido del universo y de nosotros mismos con estos instrumentos, y con nuestra física y nuestra matemática, es fascinante.

Muchos, atraídos tanto por estos descubrimientos como por la belleza del cielo estrellado, buscan acercarse a la astronomía. Curiosos, aficionados y entusiastas de todas las edades participan cada vez más en clubes, asociaciones, star parties y otras actividades públicas de astronomía. Naturalmente, muchos de ellos se encuentran con preguntas tan elementales como difíciles. ¿Por dónde empezar? ¿Cómo uso este telescopio que me regalaron? ¿Qué puedo observar? ¿Qué es lo que estoy viendo? ¿Me compro un mapa o uso el celular? No hay que desalentarse. Claro: la astronomía es una ciencia y una actividad compleja. Pero, afortunadamente, la complejidad está organizada en capas, y hay capas para todos los gustos.

Por estas razones es una gran alegría presentar un libro como éste, particularmente en nuestra lengua, y más aún escrito desde la perspectiva del hemisferio sur. El autor es uno de los más dedicados observadores de nuestro país, y celebro que hoy, una vez más, esté poniendo su experiencia y su entusiasmo por escrito, para compartirlo con nosotros. Este Manual de Astronomía será el mejor tutor de los astrónomos principiantes. Para quien lo necesite, puede leerse como un libro de texto, progresando en nuestro conocimiento, dominio y familiaridad con el cielo y las técnicas de observación. Quien lo prefiera podrá consultarlo como el manual que es, leyendo las secciones que le hagan falta. No tengo duda de que, a todos y cada uno, continuará acompañándolos durante muchos años a lo largo de cada etapa de su camino individual de conocimiento de los cielos.

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sábado, 3 de diciembre de 2016

El desafío de la braquistócrona

El número de junio de 1696 de las Acta Eruditorum contenía el siguiente desafío:
"Yo, Johann Bernoulli, me dirijo a los matemáticos más brillantes del mundo. Nada es más atractivo para la gente inteligente que un problema honesto y difícil, cuya posible solución les traiga fama y se convierta en un eterno monumento. Espero ganar la gratitud de la comunidad científica al proponer un problema que pondrá a prueba sus métodos y el valor de su intelecto. Si alguien me manda la solución, públicamente lo proclamaré digno de elogio.

"Dados dos puntos, A y B, en un plano vertical, cuál es la curva que debe seguir una partícula sobre la que actúa sólo la gravedad, para partir de A y llegar a B en el menor tiempo posible."
Se llama problema de la braquistócrona (del griego braquistos, el más corto, y cronos, tiempo). Ingenuamente uno podría decir: es una línea recta. Sabemos que la línea recta es la de menor distancia entre A y B. ¿Será la de menor tiempo? Pues no.

Bernoulli, que ya sabía la respuesta, no fue el primero en considerar este problema. Galileo ya había demostrado que, si la recta que une A y B está inclinada 45 grados, una partícula deslizándose por un arco circular llegaría a B más rápido que por la recta. Pero Galileo, incorrectamente, concluyó que la trayectoria circular era la más rápida de todas las posibles. Tampoco lo es.

Bernoulli recibió cinco soluciones, todas correctas: de su hermano Jacob Bernoulli (el de los números de Bernoulli), de Gotffried Leibniz (matemático alemán pionero del cálculo diferencial e integral), de Guillaume de L'Hôpital (matemático francés autor del primer libro de cálculo), de Ehrenfried von Tschirnhaus (filósofo y científico alemán, inventor de la porcelana europea), y del mismísimo Isaac Newton. Según su biógrafo John Conduitt, Newton recibió el problema una noche al regresar de su trabajo en la Casa de la Moneda. Estaba muy cansado a causa de una reforma monetaria que estaban poniendo en práctica, pero no paró hasta que lo resolvió a las 4 de la madrugada. Newton mandó su solución a Charles Montague, presidente de la Royal Society y amante de su sobrina favorita Catherine Barton (luego esposa del propio Conduitt). También la mandó en forma anónima a Bernoulli, quien no tardó en reconocer al autor. "Se reconoce al león por sus garras," dicen que dijo. Él había tardado dos semanas en resolver el problema.

El número de mayo de 1697 de las Actas publicó todas las soluciones. Tal como había prometido, Johann elogió a los ganadores, destacando que
"[además] de mi hermano mayor, las tres grandes naciones: Alemania, Inglaterra y Francia, cada una por su cuenta uniéndose a mí en tan hermosa investigación, todas hayan encontrado la misma verdad."
Las soluciones que desarrollaron los hermanos Bernoulli sentaron las bases de lo que hoy llamamos cálculo variacional. Euler (discípulo de Johann) formalizó el método geométrico de los Bernoulli, y encontró que la solución satisface lo que hoy llamamos ecuación de Euler-Lagrange. Lagrange generalizó y simplificó el método, sentando las bases de la Mecánica como ciencia analítica moderna.

¿Y cuál es la curva? La curva de recorrido más rápido, según encontraron correctamente los contendientes, se llama cicloide. Es la curva que dibuja un punto en el borde de una rueda al girar, como se ve en la figura animada. La solución del problema mecánico es al revés, del lado de abajo de la línea horizontal, como se verá en mi video.

La cicloide ya se conocía, y de hecho poco tiempo antes Christiaan Huygens había demostrado que tenía otra propiedad interesante, que a mí me resulta todavía más sorprendente: es isócrona, o tautócrona. Es decir, no importa de qué altura uno suelte la partícula en un tobogán cicloide, siempre tarda lo mismo en llegar al punto inferior. Huygens usó esta propiedad para diseñar un péndulo que, colgado de la cúspide de dos cicloides, oscila con un período independiente de la amplitud. Ideal para construir un reloj.

En el curso de Mecánica Clásica del Balseiro enseñamos la solución variacional del problema de la braquistócrona, y además hacemos una demostración improvisada con cablecanales y canicas. Este año la filmamos en cámara lenta y vale la pena mostrarla. Hay también una demostración de la isocronía (usando dos bolitas que llegan al mismo tiempo) y al final unas imágenes de un péndulo isócrono que tenemos en el laboratorio.



El cálculo variacional tiene muchísimas aplicaciones más allá de la Mecánica. Una de las que más me gustan es la siguiente. Un guardavidas ve a un bañista pidiendo ayuda. Sabiendo que corre a cierta velocidad v1 y que nada a otra velocidad, v2, ¿en qué punto debe entrar al agua para auxiliar al bañista lo más rápido posible? Se los dejo como ejercicio.



La figura animada de la cicloide es de Zorgit, CC BY-SA 3.0, (wikipedia).

En el texto original en latín de las Actas no pude encontrar el elogio de las "tres grandes naciones", que traduje del inglés. Debe estar ahí, pero es difícil leer tanto el estilo rebuscado como la tipografía del siglo XVII.

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sábado, 26 de noviembre de 2016

Eclipse anular patagónico

¡Atención amantes de la Patagonia y de la astronomía! Se acerca un ¡eclipse solar anular... patagónico!

Como ya hemos contado más de una vez, la órbita de la Luna no es circular sino ovalada. ¿Qué pasa cuando un eclipse solar coincide con que la Luna está en la parte más alejada de la órbita? ¡Pasa que no alcanza a tapar todo el Sol! Un bordecito de Sol, un anillo brillante, se ve asomando todo alrededor de la silueta lunar. Como si le hubieran hecho un agujero con un sacabocado. No son tan impresionantes como un eclipse total, pero estos eclipses anulares son dignos de verse. Tuve la suerte de ver el del 20 de mayo de 2012 desde Albuquerque, New Mexico. He aquí una secuencia del progreso del eclipse:


El próximo 26 de febrero habrá un eclipse de este tipo, visible desde una estrecha franja que cruzará la Patagonia desde la cordillera a la costa, en la provincia de Chubut. El eclipse se verá como eclipse parcial desde toda la Argentina (y buena parte del Cono Sur hasta Perú y Brasil). Pero la anularidad, el delgado anillo de fuego, sólo será visible desde una estrecha franja que tiene tres localidades cercanas: Facundo (una comunidad rural cerca de la ruta 40), Sarmiento (en medio de la estepa) y Camarones en la costa. Pueden ver el mapa del eclipse en Google Maps visitando este link o éste (donde también pueden descargar un archivo kmz para verlo en Google Earth offline). Haciendo click en cualquier lugar del mapa se abre un cuadrito informativo con todos los datos útiles, en particular la hora del comienzo y el fin de la fase anular, que dura apenas un minutito. Por ejemplo, para Facundo:


Sólo entre las líneas azules el eclipse será anular. Visto desde la línea roja la Luna pasará por el medio del Sol y el anillo será uniforme todo a su alrededor. Si no, será más grueso de un lado que del otro.

Creo que el eclipse del 26 de febrero va a ser mucho más impresionante que el que vi en 2012, cuya foto puse arriba. La razón es que el anillo solar va a ser mucho más estrecho. Durante el eclipse de Albuquerque la Luna ocultó el 87% del disco solar (se le dice oscurecimiento). ¡En Facundo el oscurecimiento será de más del 97%! Hice un gif animado para mostrar la diferencia, que vemos aquí al lado. ¡Im-pre-sio-nan-te!

Ahora bien, el cielo no se pone negro durante un eclipse anular, como ocurre en los eclipses totales. No se dejen engañar por las fotos de arriba, que están tomadas con un filtro muy oscuro delante de la lente. Aunque sea un bordecito de Sol es extremadamente brillante. Pero algo debería oscurecerse. ¿Podemos calcularlo?

Sí, para eso estamos los físicos. Es un poco complicado, porque el brillo del Sol no es uniforme en todo su disco: el borde (se llama limbo) es un poco más oscuro (como se ve en las fotos de la secuencia del eclipse). Podemos usar la forma matemática de ese oscurecimiento del limbo, más los tamaños del Sol y la Luna en cada eclipse, para calcular la disminución de brillo. Les ahorro los detalles. Obtuve lo siguiente:

Eclipse del 20 de mayo de 2012, en Albuquerque
Brillo del Sol: 8% del normal (reducción de 2.7 magnitudes)

Eclipse del 26 de febrero de 2017, en Facundo
Brillo del Sol: 1.2% del normal (reducción de 4.8 magnitudes)

O sea: ¡bastante oscuro! y también bastante brillante... La verdad, no me lo puedo imaginar. Habrá que verlo.

¿Será suficiente para que se note el oscurecimiento del cielo? El Sol es normalmente 400 mil veces más brillante que una Luna llena. Con el oscurecimiento de 4.8 magnitudes ese delgadísimo anillo será todavía casi 5000 veces más brillante que una Luna llena. Según mi estimación, el brillo residual corresponde a un Sol un poquito después del amanecer (por la reducción de brillo en la atmósfera). Pero sin el enrojecimiento, claro. Así que será como el cielo del amanecer, azul profundo, pero de color normal. Todavía no me lo puedo imaginar...

¿Se verán las estrellas? Tampoco lo sé. Muy cerca, pocos grados por encima del eclipse, estará el planeta Mercurio, brillando a magnitud -0.17. Algo más lejos, unos 10 grados arriba a la derecha, la estrella de primera magnitud Fomalhaut. Habrá que ver...


El anillo parece tan finito... ¿Se podrá mirar a simple vista? Un 1% es lo que deja pasar un filtro de soldar entre #5 y #6 (que además bloquean casi el 100% del UV). Es seguro mirar el Sol a través de un filtro #12 o más. Así que no: no es seguro mirar a simple vista. Más cerca de la fecha daremos indicaciones de cómo observarlo de manera segura.



Algunos detalles para matematicofílicos. Usé el siguiente modelo de oscurecimiento del limbo:
\[ I(\psi) = I(0) \big(1 + \sum_k a_k (1 - \cos^k \psi)\big). \]
Usando los primeros dos términos (\(a_1 = -0.47, a_2 = -0.23\)) y la relación \(\cos\psi = \sqrt{1 - (\sin \theta /\sin \Omega)^2}\) tenemos:
\[
I(\theta)= I(0)\left(1 - 0.47 (1 - \sqrt{1 - (\sin\theta/\sin\Omega)^2}) - 0.23 \big(1 -\sqrt{1 - (\sin\theta/\sin\Omega)^2}\big)^2\right),
\]
que integramos para encontrar la intensidad total y la del annulus:
\[ I_t = \int_0^{2\pi}\int_0^{\Omega} I(\theta)\,d\theta d\phi,~~
I_a = \int_0^{2\pi}\int_{\frac{d_{luna}}{d_{sol}}\Omega} ^{\Omega} I(\theta)\,d\theta d\phi, \]
con las cuales podemos calcular las magnitudes. Para el eclipse en Facundo tenemos \(d_{sol} = 32.3'\), \(d_{luna} = 31.9'\), \(r = 0.9903\) u.a. Se obtiene un factor de reducción de brillo de 82.9 (12.3 para el de Albuquerque).

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sábado, 19 de noviembre de 2016

Veinte años no es nada

Bueno, según qué veinte años. Estaba revisando un mapa de eclipses de Sol en una revista y me sorprendió un detalle. Fui a buscar otro mapa, en el sitio de eclipses de la NASA, y lo mismo. Aquí está, son todos los eclipses solares del mundo entre 2001 y 2020:


¿Qué detalle me llamó la atención?... ¿Cuál es el país del mundo donde hay más eclipses totales en estos 20 años? ¡La Argentina! Bueno, empatando con Chile. Hay tres eclipses solares totales, más que en ningún otro país de la Tierra, y además hay uno anular.

Uno de ellos ya pasó: fue el notable eclipse solar total de la Patagonia austral, el 11 de julio de 2010. La franja de totalidad terminaba casi exactamente en El Calafate. Era una gran tentación ir a verlo; pero no fui porque, en pleno invierno, lo más probable era que en esas latitudes estuviera nublado. Además, sólo iba a ser visible el final del eclipse, con el Sol apenas 1 grado sobre el horizonte del oeste, sobre la cordillera, donde las chances de nubes me parecían todavía mayores. ¡Cómo me arrepentí de no haber ido! No sólo estuvo despejado, sino que el eclipse se vio buenísimo sobre el paisaje nevado. Esta foto la compartió Janne Pyykkö en SpaceWeather, y me atraganto de sana envidia cada vez que la veo.


Los dos eclipses totales que faltan son mi mejor oportunidad de ponerme al día, ya que nunca vi un eclipse total. El primero será el 2 de julio de 2019, también en pleno invierno. Cruza todo el país por el medio, desde San Juan hasta Buenos Aires. Ya veremos desde dónde conviene observarlo. El siguiente me queda más cerca: es el 14 de diciembre de 2020, y pasa por acá nomás, desde Junín de los Andes hasta Las Grutas. De hecho, el punto de máximo eclipse también está muy cerca, en medio de la estepa. ¿Estará terminada la ruta nacional 23? Sospecho que no. Habrá que ver a dónde conviene ir.

¿Y el cuarto? ¿El eclipse anular? ¡Falta muy poquito! Será el 26 de febrero próximo. Si bien un eclipse anular no es en absoluto igual de impresionante que un eclipse total, de todos modos es algo muy lindo de ver. Tuve la suerte de ver el eclipse anular del 20 de mayo de 2012 que cruzó Norteamérica (uno de los apenas dos eclipses de Estados Unidos en todo el veintenio). Ya lo he contado aquí, en la nota El anillo de fuego. Así que no pienso perderme éste, que cruza la provincia del Chubut de la cordillera a la costa atlántica. Tengo la impresión de que será todavía mejor que aquél. La semana que viene contaré algo más sobre este eclipse que ya tenemos casi encima.


El atlas de eclipses es de Fred Espenak, el famoso Mr. Eclipse que preparó todos los cánones de eclipses de la NASA. La foto del eclipse total en El Calafate es de Janne Pyykkö, publicada en SpaceWeather.

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